Cryptography / 密码学

概念→原理→公式→代码→应用 结构化参考

1. 对称加密

概念

加密和解密使用同一密钥。速度快，适合大量数据。

AES（Advanced Encryption Standard）

原理：SPN 结构，分组大小 128 bit，密钥 128/192/256 bit。轮数：10/12/14。 操作：SubBytes → ShiftRows → MixColumns → AddRoundKey

密文 = E_K(明文)    明文 = D_K(密文)

工作模式：

from cryptography.hazmat.primitives.ciphers.aead import AESGCM
import os

key = AESGCM.generate_key(bit_length=256)
aesgcm = AESGCM(key)
nonce = os.urandom(12)
ct = aesgcm.encrypt(nonce, plaintext, associated_data)
pt = aesgcm.decrypt(nonce, ct, associated_data)

ChaCha20-Poly1305

Google 推荐替代 AES-GCM（无硬件加速时更快）。流密码 + MAC。

SM4（国密）

中国国家标准，128 bit 密钥，32 轮。用于金融/政务。

2. 非对称加密

RSA

原理：基于大整数分解困难性。

n = p × q,  φ(n) = (p-1)(q-1)
e（通常 65537）,  d = e^(-1) mod φ(n)
加密：c = m^e mod n    解密：m = c^d mod n
签名：s = m^d mod n    验证：m = s^e mod n

密钥 ≥2048 bit。使用 OAEP（加密）/ PSS（签名）填充。

from cryptography.hazmat.primitives.asymmetric import rsa, padding
from cryptography.hazmat.primitives import hashes

private_key = rsa.generate_private_key(65537, 4096)
ct = private_key.public_key().encrypt(
    msg, padding.OAEP(
        mgf=padding.MGF1(hashes.SHA256()),
        algorithm=hashes.SHA256(), label=None))

ECC（椭圆曲线密码学）

基于 ECDLP。同等安全密钥更短。

y² = x³ + ax + b (mod p)
私钥 d ∈ [1, n-1],  公钥 Q = d × G
ECDH 共享密钥: d_A × Q_B = d_B × Q_A

SM2（国密）

中国国家标准 ECC，配套 SM3 哈希。

3. 哈希函数

单向性、抗碰撞性、雪崩效应。

HMAC

HMAC(K, m) = H((K' ⊕ opad) || H((K' ⊕ ipad) || m))

密码哈希

慢哈希 + 盐，抗暴力/彩虹表。Argon2（推荐）> scrypt > bcrypt。

生日攻击

SHA-256 碰撞需要 ≈2¹²⁸ 次尝试。

4. 数字签名与 PKI

PKI

根 CA → 中间 CA → 终端证书。CRL/OCSP 吊销检查。

Let's Encrypt / ACME

自动签发免费 TLS 证书。HTTP-01 / DNS-01 域名验证。

5. 密钥管理

• 密钥派生：HKDF / PBKDF2
• 密钥封装：HPKE（RFC 9180，推荐）
• 前向保密：临时 ECDH 密钥对

6. 协议安全

TLS 1.3（1-RTT）

ClientHello + KeyShare → ServerHello + KeyShare + Cert + Finished → Finished ECDHE 协商共享密钥，前向保密。

JWT

Header.Payload.Signature
alg: none 攻击需防范；不加密敏感数据

双因素认证

• TOTP：Truncate(HMAC-SHA1(K, ⌊time/30⌋)) → 6 位数字
• WebAuthn/FIDO2：公钥密码学 + 硬件安全密钥

7. 侧信道攻击

• 时序攻击：通过操作耗时推断密钥。防护：恒定时间比较。
• 功耗分析：DPA/SPA 分析设备功耗。防护：掩码、盲化。
• 缓存攻击：Spectre/Meltdown 类。防护：恒定时间实现、缓存刷新。

8. 密码学应用

区块链

• Merkle 树：H(H(a)||H(b)) 二叉哈希树，高效验证数据完整性
• PoW：找到 nonce 使得 H(block_header) \x3C target
• PoS：权益证明，按持币量选验证者

零知识证明（ZKP）

证明者不泄露信息的情况下证明某个陈述为真。

zk-SNARK：简洁非交互知识论证
  特点：证明小（~200B）、验证快、需可信设置
zk-STARK：透明、无需可信设置、证明较大

应用：Zcash 隐私交易、以太坊 zkRollup 扩容。

同态加密

对密文直接计算，解密结果等于对明文计算的结果。

E(a) ⊕ E(b) = E(a + b)    （加法同态：Paillier）
E(a) ⊗ E(b) = E(a × b)    （全同态：Gentry 方案，CKKS/BFV）

安全多方计算（MPC）

多方各自持有私密输入，联合计算函数结果，不泄露各自输入。

应用：隐私集合求交（PSI）、联合建模、密钥分片托管。